Question

【題目】選修4—5：不等式選講

已知函數f（x）＝|2x－a|＋a.

（1）若不等式f（x）≤6的解集為{x|－2≤x≤3}，求實數a的值；

（2）在（1）的條件下，若存在實數n使f（n）≤m－f（－n）成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） a＝1 （2）[4，＋∞）．

【解析】

試題分析：（1）根據方程的解與不等式解集關系得：－2 ，3為|2x－a|＋a =6兩根，解得a＝1。也可先利用絕對值定義求不等式解集a－3≤x≤3，再根據同解得等量關系a－3＝－2 （2）不等式有解問題，一般轉化為對應函數最值問題：f（n）＋f（－n） 最小值≤m，再利用絕對值定義求f（n）＋f（－n） ＝|2n－1|＋|2n＋1|＋2最小值，也可利用絕對值三角不等式求最小值：|2n－1|＋|2n＋1|

試題解析：（1）由|2x－a|＋a≤6，得|2x－a|≤6－a，

∴a－6≤2x－a≤6－a，即a－3≤x≤3，∴a－3＝－2，∴a＝1

（2）由（1）知f（x）＝|2x－1|＋1，

令φ（n）＝f（n）＋f（－n），

則φ（n）＝|2n－1|＋|2n＋1|＋2

＝

∴φ（n）的最小值為4，故實數m的取值范圍是[4，＋∞）．