Question

【題目】已知正項數列的前項和為，對任意，點都在函數的圖像上．

（I）求數列的首項和通項公式；

（II）若數列滿足，求數列的前項和；

（III）已知數列滿足．若對任意，存在，使得成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：（I）由點都在函數的圖像上，可得，進而得，兩式相減可得結論.；（II）由（I）知，所以，利用錯位相減法可得結果；（III），利用分組求和及裂項相消法可得，進而利用不等式恒成立解答即可.

試題解析：（I）由題知，當時， ，所以．

，所以，兩式相減得到

，

因為正項數列，所以，

數列是以1為首項，1為公差的等差數列，所以．

（II）由（I）知，所以，

因此①，

②，

由①-②得到

所以．

（III）由（II）知，所以

．令為的前項和，易得．

因為，當時，

，而，得到

，所以當時， ，所以．

又， 的最大值為．

因為對任意的，存在，使得成立．

所以，由此．

【易錯點晴】本題主要考查分組求和、裂項求和、“錯位相減法”求數列的和，以及不等式恒成立問題，屬于難題. “錯位相減法”求數列的和是重點也是難點，利用“錯位相減法”求數列的和應注意以下幾點：①掌握運用“錯位相減法”求數列的和的條件（一個等差數列與一個等比數列的積）；②相減時注意最后一項 的符號；③求和時注意項數別出錯；④最后結果一定不能忘記等式兩邊同時除以.