Question

（2007•淄博三模）如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA₁=

3

，D為棱CC₁的中點．
（I）證明：A₁C⊥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）設(shè)平面AB₁C₁與平面ABD所成的角為θ，求cosθ；
（Ⅲ）在棱AB上是否存在一點E，使DE∥平面AB₁C₁？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（I）先證明BC⊥平面ACC₁A₁，可得B₁C₁⊥A₁C，再證明A₁C⊥AC₁，可得A₁C⊥平面AB₁C₁；
（II）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABD的法向量，利用向量的夾角公式，即可得出結(jié)論；
（III）當(dāng)點E為棱AB的中點時，DE∥平面AB₁C₁．證明平面EFD∥平面AB₁C₁即可．

解答：（I）證明：∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，∴BC⊥CC₁，
∵AC∩CC₁=C
∴BC⊥平面ACC₁A₁，
∵A₁C?平面ACC₁A₁，
∴BC⊥A₁C
∵BC∥B₁C₁，則B₁C₁⊥A₁C
∵Rt△ABC中，AB=2，BC=1，∴AC=

3

∵AA₁=

3

，四邊形ACC₁A₁為正方形
∴A₁C⊥AC₁，
∵B₁C₁∩AC₁=C₁，
∴A₁C⊥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，

3

），C（0，0，0），B（1，0，0），A1(0，

3

，

3

)，C1(0，

3

，0)，B1(1，

3

，0)，D(0，

3

2

，0)
由（ I）可知平面AB₁C₁的法向量為

CA1

=（0，

3， 3

）
設(shè)

n

=（x，y，z）為平面ABD的法向量．
∵

AB

=（1，0，-

3

），

AD

=(0，

3

2

，-

3

)
∴

x- 3 z=0 y-2z=0

令z=1，則x=

3

，y=2
∴

n

=（

3

，2，1）
∴cos＜

.

n

，

CA1

＞=

. n • CA1

| . n || CA1 |

=

3

4

∴cosθ=

3

4

；
（ III）解：當(dāng)點E為棱AB的中點時，DE∥平面AB₁C₁．
證明如下：
如圖，取BB₁的中點F，連EF，F(xiàn)D，DE
∵D，E，F(xiàn)分別為CC₁，AB，BB₁的中點；
∴EF∥AB₁，
∵AB₁?平面AB₁C₁，EF?平面AB₁C₁，
∴EF∥平面AB₁C₁，
同理可證FD∥平面AB₁C₁，
∵EF∩FD=F
∴平面EFD∥平面AB₁C₁，
∵DE?平面EFD
∴DE∥AB₁C₁．

點評：本題考查線面垂直，線面平行，線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查向量知識的運用，屬于中檔題．