Question

（2007•淄博三模）正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，在正方體表面上與點A距離是

2 3

3

的點形成一條曲線，這條曲線的長度是（　　）

• A．

  3

  3

  π
• B．

  3

  2

  π
• C．

  3

  π
• D．

  5 3

  6

  π

Answer 1

分析：本題首先要弄清楚曲線的形狀，再根據曲線的性質及解析幾何知識即可求出長度．

解答：解：由題意，此問題的實質是以A為球心、

2 3

3

為半徑的球在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁各個面上交線的長度計算，
正方體的各個面根據與球心位置關系分成兩類：ABCD、AA₁DD₁、AA₁BB₁為過球心的截面，截痕為大圓弧，
各弧圓心角為

π

6

、A₁B₁C₁D₁、B₁BCC₁、D₁DCC₁為與球心距離為1的截面，
截痕為小圓弧，由于截面圓半徑為r=

3

3

，故各段弧圓心角為

π

2

．
∴這條曲線長度為3•

π

6

•

2 3

3

+3•

π

2

•

3

3

=

5 3

6

π
故選D．

點評：本題考查弧長公式的應用，解題時要認真審題，仔細觀察，避免出錯．