Question

（2007•淄博三模）在△ABC中，a，b，c是內角A，B，C的對邊，且b²=ac，cosB=

3

4

．
（1）求cotA+cotC的值；
（2）求sinA：sinB：sinC的比值．

Answer 1

分析：（1）由cosB=

3

4

可得sinB=

7

4

，由b²=ac，結合正弦定理可得sin²B=sinAsinC，而cotA+cotC=

cosA

sinA

+

cosC

sinC

=

sinCcosA+sinAcosC

sinAsinC

=

sin(A+C)

sinAsinC

=

sinB

sinAsinC

=

1

sinB

代入可求
（2）由cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

=

3

4

可得a，c，b之間的關系，而sinA：sinB：sinC=a：b：c可求

解答：解：（1）∵cosB=

3

4

∴sinB=

7

4

∵b²=ac∴sin²B=sinAsinC
∴cotA+cotC=

cosA

sinA

+

cosC

sinC

=

sinCcosA+sinAcosC

sinAsinC

=

sin(A+C)

sinAsinC

=

sinB

sinAsinC

=

1

sinB

=

4 7

7

（2）cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

=

3

4

∴a=2c，b=

2

c或a=

1

2

c，b═

2

2

c
∴sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：

2

：1或sinA：sinB：sinC=a：b：c=1：

2

：2

點評：本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應用，實現角邊相互轉化，是判斷三角形的形狀常采用的一種方法．