Question

（2010•昆明模擬）若0＜x＜

π

2

，則函數(shù)y=

sin2x+2cos2x

sin2x

的最小值為

2

．

Answer 1

分析：由0＜x＜

π

2

，知y=

sin2x+2cos2x

sin2x

=

sin2x+2cos2x

2sinxcosx

=

tanx

2

+

2

tanx

，利用均值不等式能求出最小值．

解答：解：∵0＜x＜

π

2

，∴cosx≠0，tanx＞0，
∴y=

sin2x+2cos2x

sin2x

=

sin2x+2cos2x

2sinxcosx

=

tan2x+2

2tanx

=

tanx

2

+

1

tanx

≥2

tanx 2 × 1 tanx

=

2

．
當且僅當

tanx

2

=

2

tanx

，即tanx=2時，取等號．
∴函數(shù)y=

sin2x+2cos2x

sin2x

的最小值為

2

．
故答案為：

2

．

點評：本題考查三角函數(shù)的恒等變換及其化簡求值，解題時要認真審題，注意均值不等式的合理運用．