Question

【題目】已知函數的圖象在點處的切線與直線垂直.

（1）求的單調區間；

（2）若當時，恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 函數的單調遞增區間為，無單調減區間；(2) .

【解析】

(1)利用導數的幾何意義求解,再利用導數的正負求解單調區間即可.

(2) 令,求導分析的單調性與最小值,再分和兩種情況討論即可.

解:(1)由已知得,則.

又因為直線的斜率為

所以,解得.

所以,定義域為,

所以.

所以函數的單調遞增區間為,無單調減區間.

(2)令.則

令,則

當時,,所以.

所以函數為增函數.

所以,所以.

①當時,,所以當時,,

所以函數為增函數,所以,

故對成立；

②當時,,由時,,

,

當,知,即.

所以函數為減函數.

所以當時,.

從而,這與題意不符.

綜上,實數的取值范圍為.