Question

（2005•朝陽區一模）已知函數f（x）=-x³+3x
（I）證明：函數f（x）是奇函數；
（II）求f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（I）先求函數的定義域，判斷定義域是否關于原點對稱，再計算f（-x），證明其與f（x）互為相反數即f（-x）=-f（x）即可
（II）先求函數f（x）的導函數f′（x），再解不等式f′（x）＞0得函數的單調增區間，解不等式f′（x）＜0可得函數的單調減區間，最后將解集寫成區間形式

解答：解：（I）證明：顯然f（x）的定義域是R．設任意x∈R，∵f（-x）=-（-x）³+3（-x）=-（-x³+3x）=-f（x），
∴函數f（x）是奇函數
（II）解：∵f′（x）=-3x²+3，
令f′（x）＞0，由-3x²+3＞0，解得-1＜x＜1
由此可知，當-1＜x＜1時，f′（x）＞0，
所以函數f（x）=-x³+3x的單調增區間是（-1，1）；
當x＜-1或x＞1時，f′（x）＜0，
所以函數f（x）=-x³+3x的單調減區間分別是（-∞，-1），（1，+∞）

點評：本題考察了函數奇偶性的證明方法，求函數單調區間的方法，導數在解決函數單調性中的應用