Question

已知圓C：（x-1）²+（y-1）²=2經(jīng)過橢圓Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點F和上頂點B．
（Ⅰ）求橢圓Γ的方程；
（Ⅱ）過原點O的射線l與橢圓Γ在第一象限的交點為Q，與圓C的交點為P，M為OP的中點，求

OM

•

OQ

的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）在圓（x-1）²+（y-1）²=2中，令y=0，得F（2，0），令x=0，得B（0，2），由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)點Q（x₀，y₀），x₀＞0，y₀＞0，則

OM

•

OQ

=(

OC

+

CM

)•

OQ

=

OC

•

OQ

=x₀+y₀，又

x02

8

+

y02

4

=1，設(shè)b=x₀+y₀，與

x02

8

+

y02

4

=1聯(lián)立，得：3x02-4bx0+2b2-8=0，由此能求出

OM

•

OQ

的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）在圓C：（x-1）²+（y-1）²=2中，
令y=0，得F（2，0），即c=2，
令x=0，得B（0，2），即b=2，
∴a²=b²+c²=8，
∴橢圓Γ的方程為：

x2

8

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）設(shè)點Q（x₀，y₀），x₀＞0，y₀＞0，
則

OM

•

OQ

=(

OC

+

CM

)•

OQ

=

OC

•

OQ

=（1，1）•（x₀，y₀）
=x₀+y₀，
又

x02

8

+

y02

4

=1，
設(shè)b=x₀+y₀，與

x02

8

+

y02

4

=1聯(lián)立，得：
3x02-4bx0+2b2-8=0，
令△≥0，得16b²-12（12b²-8）≥0，
解得-2

3

≤b≤2

3

．
又點Q（x₀，y₀）在第一象限，
∴當x0=

4 3

3

時，

OM

•

OQ

取最大值2

3

．

點評：本題考查直線、圓、橢圓、平面向量、分式函數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查運算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化及函數(shù)與方程等數(shù)學思想．