Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，其左、右焦點分別為，，點為坐標平面內的一點，且，，為坐標原點.

（1）求橢圓的方程；

（2）設為橢圓的左頂點，，是橢圓上兩個不同的點，直線，的傾斜角分別為，，且.證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標，

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，定點.

【解析】

（1）設點坐標為，，，運用兩點間的距離公式和向量數量積的坐標表示，以及橢圓的離心率公式，解方程可得，進而得到橢圓方程；

（2）設，，判斷直線的斜率不存在不成立，設直線的方程為，聯立橢圓方程，運用判別式大于0，以及根與系數的關系，結合直線的斜率公式，化簡整理，結合直線方程和恒過定點的求法，可得結果.

解（1）設點坐標為，，

則，

由題意得

解得.∴.

又，∴

∴

∴所求橢圓的方程為：

（2）由題可知直線的斜率存在，則設直線方程為，，坐標為，

解方程組

∴

∴，

又由，∴，

設直線，斜率分別為，，則

∴

即：

∴

∴

化簡得：

得：，或

當時，，過點（-2，0），不合題意（舍去）

當時，，過點，

∴直線恒過定點.