Question

【題目】已知函數．

（1）若在上不單調，求a的取值范圍；

（2）當時，記的兩個零點是

①求a的取值范圍；

②證明：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②證明見解析.

【解析】

（1）先對函數求導整理得出，結合研究的區間，對的范圍進行討論，結合函數在某個區間上不單調的條件，即既有增區間，又有減區間，即在區間上存在極值點，得到結果；

（2）①將函數在區間上有兩個零點轉化為方程有兩個解，構造新函數，利用導數求得結果；

②結合①，求得兩個零點所屬的區間，利用不等式的性質證得結果.

（1）因為，所以，

當時，可知在上恒成立，

即在上單調遞增，不合題意，

當時，即時，可知時，單調減，

當時，單調增，所以滿足在上不單調，

所以a的取值范圍是；

（2）①令，得，即有兩個解，

令，則，

所以當時，，當時，，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

且當時，，當時，，且，

所以當時，記的兩個零點，a的取值范圍是；

②由①知，所以，

所以