Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分別是BC、AC的中點，F為PC上的一點，且PF：FC=3：1．
（1）求證：PA⊥BC；
（2）試在PC上確定一點G，使平面ABG∥平面DEF；
（3）求三棱錐C-DEF的體積與三棱錐P-ABC的體積比．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用線面垂直的判定，證明PA⊥平面ABC，再利用線面垂直的性質，即可得到結論；
（2）取PC的中點G，利用線線平行，可得線面平行，從而可得面面平行；
（3）確定兩個三棱錐底面積、高之間的關系，即可求得結論．
解答：（1）證明：∵PC²=PA²+AC²，PB²=PA²+AB²
∴PA⊥AC，PA⊥AB
∵AC∩AB=A
∴PA⊥平面ABC
∵BC?平面ABC
∴PA⊥BC
（2）解：取PC的中點G，連接AG、BG

∵PF：FC=3：1
∴GF=FC
又∵D、E分別為BC、AC的中點
∵AG∥EF，BG∥DF
∵AG∩BG=G，EF∩DF=F
∴平面ABG∥平面DEF；
（3）解：設F到平面ABC的距離為d，則
∵PF：FC=3：1，PA⊥平面ABC
∴d=
∵D、E分別為BC、AC的中點
∴
∴三棱錐C-DEF的體積與三棱錐P-ABC的體積比為1：12．
點評：本題考查線面垂直，考查面面平行，考查三棱錐體積的計算，掌握線面垂直的判定與性質，面面平行的判定方法是關鍵．