Question

已知函數f(x)＝a₀＋a₁x＋a₂x²＋a₃x³＋…＋a_nxⁿ(n∈N^*)，且y＝f(x)的圖象經過點(1，n²)，數列{a_n}為等差數列．

(1)求數列{a_n}的通項公式．

(2)當n為奇數時，設g(x)＝[f(x)－f(－x)]．是否存在自然數m和M，使不等式m＜g＜M恒成立？若存在，求出M－m的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)據題意，f(1)＝n2，即a0＋a1＋a2＋…＋an＝n2． 　　令n＝1，得a0＋a1＝1，a1＝1－a0； 　　令n＝2，得a0＋a1＋a2＝22，a2＝4－(a0＋a1)＝4－1＝3： 　　令n＝3，得a0＋a1＋a2＋a3＝32，a3＝9－(a0＋a1＋a2)＝9－4＝5； 　　因為{an}為等差數列，所以d＝a3－a2＝5－3＝2．a1＝3－2＝1，a0＝0，an＝1＋(n－1)·2＝2n－1．

提示：

錯位相減是一種常用的特殊數列的求和方法．