Question

如圖，在△ABC中，已知 sinB+cosB=

2

，AC=2

5

，cosC=

2 5

5

．
（1）求sin∠BAC的值；
（2）設D為BC的中點，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）由已知中sinB+cosB=

2

，我們可以求出B的正弦值和余弦值，結合cosC=

2 5

5

，我們可以求出C的正弦值和余弦值，根據sin∠BAC=sin（B+C），結合兩角和的正弦公式，即可得到sin∠BAC的值；
（2）由正弦定理結合（1）的結論，選求出BC的長，再求出DC的長，再利用余弦定理，即可求出AD的長．

解答：解：（1）∵sinB+cosB=

2

sin（B+

π

4

）=

2

，
∴B+

π

4

=

π

2

，即B=

π

4

又∵cosC=

2 5

5

∴sinC=

5

5

∴sin∠BAC=sin（B+C）=sinB•cosC+cosB•sinC=

3 10

10

（2）∵AC=2

5

，
由正弦定理

BC

sinA

=

AC

sinB

得：
BC=

AC

sinB

sinA=6
∵D為BC的中點，
∴DC=3
由余弦定理得：AD=

AC2+DC2-2cosC•AC•DC

=

5

點評：本題考查的知識點是解三角形，熟練掌握正弦定理及余弦定理，是解答本題的關鍵．