Question

已知：等差數列{a_n}中，a₃+a₄=15，a₂a₅=54，公差d＜0．
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）求數列的前n項和S_n的最大值及相應的n的值．

Answer 1

分析：（1）利用等差數列的性質可得

a2+a5=15 a2•a5=54

，聯立方程可得a₂，a₅，代入等差數列的通項公式可求a_n
（2）利用等差數列求和公式先求出S_n，然后利用二次函數的性質求出最值，注意變量取正整數．

解答：解：（1）解∵{a_n}為等差數列，
∴a₂+a₅=a₃+a₄∴

a2+a5=15 a2•a5=54

…2分
解得

a2=6 a5=9

(因d＜0，舍去)

a2=9 a5=6

…4分⇒

d=-1 a1=10

…5分
∴a_n=11-n．…6分
（2）∴Sn=

n(a1+an)

2

=-

1

2

n2+

21

2

n．
∴Sn=

n(a1+an)

2

=-

1

2

n2+

21

2

n．…8分
又-

1

2

＜0，對稱軸為

21

2

，故當n=10或11時，…10分
S_n取得最大值，其最大值為55．…12分．

點評：本題主要考查了等差數列的通項和等差數列的求和，同時考查求解最大值問題，屬于中檔題．