Question

已知遞增等差數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）若不等式（1-

1

2a1

）•（1-

1

2a2

）…（1-

1

2an

）≤

m

2an+1

對(duì)任意n∈N⁺，試猜想出實(shí)數(shù)m小值，并證明．

Answer 1

分析：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}公差為d（d＞0），由a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列可求得d，從而可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）由（1）得a_n=n，可將原不等式轉(zhuǎn)化為

1

2

•

3

4

•

5

6

…

2n-1

2n

≤

m

2n+1

，利用n=1與n=2即可猜想m的最小值為

3

2

，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答：解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}公差為d（d＞0），
由題意可知a₁•a₄=a22，即1（1+3d）=（1+d）²，
解得d=1或d=0（舍去）．
所以，a_n=1+（n-1）•1=n．
（2）不等式等價(jià)于

1

2

•

3

4

•

5

6

…

2n-1

2n

≤

m

2n+1

，
當(dāng)n=1時(shí)，m≥

3

2

；當(dāng)n=2時(shí)，m≥

3 5

8

；
而

3

2

＞

3 5

8

，所以猜想，m的最小值為

3

2

．
下證不等式

1

2

•

3

4

•

5

6

…

2n-1

2n

≤

3 2

2n+1

對(duì)任意n∈N^*恒成立．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．
證明：1°當(dāng)n=1時(shí)，

1

2

≤

3 2

3

=

1

2

，成立．
2°假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式，

1

2

•

3

4

•

5

6

…

2k-1

2k

≤

3 2

2k+1

成立，
當(dāng)n=k+1時(shí)，

1

2

•

3

4

•

5

6

…

2k-1

2k

•

2k+1

2k+2

≤

3 2

2k+1

•

2k+1

2k+2

，
只要證

3 2

2k+1

•

2k+1

2k+2

≤

3 2

2k+3

，
只要證

2k+1

2k+2

≤

1

2k+3

，
只要證

2k+1

-

2k+3

≤2k+2，
只要證4k²+8k+3≤4k²+8k+4，
只要證3≤4，顯然成立．
所以，對(duì)任意n∈N^*，不等式

1

2

•

3

4

•

5

6

…

2n-1

2n

≤

3 2

2n+1

恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查猜想與推理證明的能力，猜想出m的值是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，屬于難題．