Question

已知函數(shù)f(x)=

(3a-1)x+5a，x＜1 logax，x≥1

，現(xiàn)給出下列命題：
①當(dāng)圖象是一條連續(xù)不斷的曲線時(shí)，則a=

1

8

；
②當(dāng)圖象是一條連續(xù)不斷的曲線時(shí)，能找到一個(gè)非零實(shí)數(shù)a，使得f （x）在R上是增函數(shù)；
③當(dāng)a∈{m|

1

8

＜m＜

1

3

，m∈R}時(shí)，不等式f（1+a）•f（1-a）＜0恒成立；
④函數(shù) y=f（|x+1|）是偶函數(shù)．
其中正確的命題是（　　）

• A、①③
• B、②④
• C、①③④
• D、①②③④

Answer 1

分析：

lim

x→1-

f(x)=

lim

x→1-

[(3a-1)x+5a]=8a-1=

lim

x→1+

f(x)=

lim

x→1+

loga x=0?a=

1

8

，故①正確；a=

1

8

，f （x）在R上是減函數(shù)，故②不正確；當(dāng)a∈{m|

1

8

＜m＜

1

3

，m∈R}時(shí)，不等式f（1+a）•f（1-a）＜0恒成立，故③正確；函數(shù) y=f（|x+1|）是偶函數(shù)不成立．即④不正確．

解答：解：

lim

x→1-

f(x)=

lim

x→1-

[(3a-1)x+5a]=8a-1，

lim

x→1+

f(x)=

lim

x→1+

loga x=0，
∵圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，
∴8a-1=0，a=

1

8

，故①正確；
當(dāng)圖象是一條連續(xù)不斷的曲線時(shí)，
a=

1

8

，f （x）在R上是減函數(shù)，故②不正確；
當(dāng)a∈{m|

1

8

＜m＜

1

3

，m∈R}時(shí)，
不等式f（1+a）•f（1-a）＜0恒成立，故③正確；
函數(shù) y=f（|x+1|）是偶函數(shù)不成立．即④不正確．
故選A．

點(diǎn)評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，解題時(shí)要注意極限和連續(xù)的合理運(yùn)用．