Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=AC=4，AB=BC=2

2

．
（1）若點P在底面ABC內(nèi)的射影是點O，試指出點O的位置，并說明理由；
（2）求證：平面ABC⊥平面APC；
（3）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）先判斷AB⊥BC，再根據(jù)PA=PB=PC，即可得到結(jié)論；
（2）利用線面垂直，可得面面垂直；
（3）取BC的中點為E，過A作AF⊥平面PBC交平面PAC于F，則∠APF就是PA與平面PBC所成的角，由此可得結(jié)論．

解答：（1）解：∵AC=4，AB=BC=2

2

，∴AC²=AB²+BC²，∴AB⊥BC

∵PA=PB=PC，∴點P在底面ABC內(nèi)的射影O，滿足OA=OB=OC
∴O是AC的中點；
（2）證明：由（1）知，PO⊥平面ABC．
∵PO?平面APC，
∴平面ABC⊥平面APC；
（3）解：取BC的中點為E，過A作AF⊥平面PBC交平面PAC于F，則∠APF就是PA與平面PBC所成的角
∵PB=PC=4，BC=2

2

，又BE=CE，∴BE⊥PE，BE=

2

，
∴由勾股定理，有PE=

14

．
∴S_△PBC=

1

2

BC×PE=

1

2

×2

2

×

14

=2

7

．
∴V_A-PBC=

1

3

S_△PBC×AF=

2 7

3

AF．
∵PA=PC=AC=4，∴S_△PAC=

1

2

AC×PD=4

3

．
∵BD⊥平面PAC，∴V_B-PAC=

1

3

S_△PAC×BD=

8 3

3

．
∵V_A-PBC=V_B-PAC，∴

2 7

3

AF=

8 3

3

，∴AF=

4 3

7

．
∴sin∠APF=

AF

PA

=

4 3 7

4

=

21

7

．
∴PA與平面PBC所成角的正弦值為

21

7

．

點評：本題考查線面垂直，考查面面垂直，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．