Question

（本小題滿分12分）

已知函數(shù)

（I）當(dāng)時(shí),求函數(shù)的圖象在點(diǎn)A（0，)處的切線方程；

（II）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)，使當(dāng)時(shí)恒成立？若存在，求出實(shí)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解（I）．   

（II）在，為增函數(shù)，在為減函數(shù)。

                                                                                                    （Ⅲ）符合條件的實(shí)數(shù)不存在.  

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。

（1）運(yùn)用了導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線的切線方程問題。

（2）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，和導(dǎo)數(shù)與不等式的關(guān)系，求解得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

（3）對(duì)于不等式的恒成立問題可以轉(zhuǎn)化為求解新函數(shù)的最值問題，來得到參數(shù)的取值范圍的求解的這樣的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用。

解（I） 時(shí),,

于是,,

所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為

即．              ………………………… ……………… 2分

（II）

=，

∵，∴ 只需討論的符號(hào)．        ……………… 4分

ⅰ）當(dāng)＞2時(shí)，＞0，這時(shí)＞0，所以函數(shù)在（－∞，+∞）上為增函數(shù)．

ⅱ）當(dāng)= 2時(shí)，≥0，函數(shù)在（－∞，+∞）上為增函數(shù)．

……………… 6分

ⅲ）當(dāng)0＜＜2時(shí)，令= 0，解得，．

當(dāng)變化時(shí)，和的變化情況如下表：

	+	0	－	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴在，為增函數(shù)，在為

減函數(shù)……………… 8分

                                                                                                    （Ⅲ）當(dāng)∈（1，2）時(shí)，∈（0，1）．由（2）知在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，故當(dāng)∈（0，1）時(shí)，，所以當(dāng)∈（0，1）時(shí)恒成立，等價(jià)于恒成立．……10分

當(dāng)∈（1，2）時(shí)，，設(shè)，則，表明g(t) 在（0，1）上單調(diào)遞減，于是可得，即∈（1，2）時(shí)恒成立，因此，符合條件的實(shí)數(shù)不存在.    ……………… 12分