Question

如圖，四邊形ABCD中，E，F分別為AC、BD的中點，設向量

a

=（4cosα，sinα），

b

=（sinβ，4cosβ），

c

=（cosβ，-4sinβ），且

AB

=2

b

-

a

，

CD

=2k

c

+

a

．
（1）若

a

與

b

-2

c

垂直，求tan（α+β）的值；
（2）試用

AB

、

CD

表示

EF

；
（3）若β為自變量，求|

EF

|的最小值f（k）．

Answer 1

分析：（1）由

a

⊥(

b

-2

c

)可得

a

•(

b

-2

c

)=0，將題中向量

a

、

b

、

c

的坐標代入并利用三角恒等變換公式化簡整理，可得sin（α+β）-2cos（α+β）=0，即可求得tan（α+β）的值；
（2）根據E、F分別為AC、BD的中點，利用向量線性運算法則法進行化簡，即可得到

EF

=

1

2

(

AB

 +

CD

)；
（3）由（2）得

EF

=

1

2

(

AB

 +

CD

)=（kcosβ+sinβ，4cosβ-4ksinβ），根據向量模的公式結合三角恒等變換公式化簡得|

EF

|²=

17

2

（k²+1）-

15

2

[2ksin2β-（1-k²）cos2β]，而2ksin2β-（1-k²）cos2β=（1+k²）sin（2β-θ）（其中tanθ=

1-k2

2k

），由此可得|

EF

|²的最小值為1+k²，從而得到|

EF

|的最小值f（k）=

1+k2

．

解答：解：（1）由題意，可得
∵

a

=(4cosα，sinα)，

b

=（sinβ，4cosβ），

c

=（cosβ，-4sinβ），
∴

b

-2

c

=(sinβ，4cosβ)-(2cosβ，-8sinβ)=（sinβ-2cosβ，4cosβ+8sinβ）
∵

a

⊥(

b

-2

c

)，
∴

a

•(

b

-2

c

)=4cosα（sinβ-2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，
整理，可得sinβcosα-2cosαcosβ+sinαcosβ+2sinαsinβ=0，
即sin（α+β）-2cos（α+β）=0
∴tan（α+β）=

sin(α+β)

cos(α+β)

=2．
（2）連結AF，由題意可得

EF

=

AF

-

AE

=

1

2

(

AD

+

AB

)-

1

2

AC

=

1

2

(

AD

+

AB

-

AC

)
∵

AD

-

AC

=

CD

，
∴

EF

=

1

2

(

AD

+

AB

-

AC

)=

1

2

(

AB

 +

CD

)；
（3）∵

AB

=2

b

-

a

=2（sinβ，4cosβ）-（4cosα，sinα）=（2sinβ-4cosα，8cosβ-sinα），

CD

=2k

c

+

a

=2k（cosβ，-4sinβ）+（4cosα，sinα）=（2kcosβ+4cosα，sinα-8ksinβ），
∴

EF

=

1

2

(

AB

 +

CD

)=（kcosβ+sinβ，4cosβ-4ksinβ）
可得|

EF

|²=（kcosβ+sinβ）²+（4cosβ-4ksinβ）²=（k²+16）cos²β-30ksinβcosβ+（1+16k²）sin²β
∵cos²β=

1

2

（1+cos2β），sin²β=

1

2

（1-cos2β），sinβcosβ=

1

2

sin2β，
∴|

EF

|²=

1

2

（k²+16）（1+cos2β）-15ksin2β+

1

2

（1+16k²）（1-cos2β）
=

17

2

（k²+1）-

15

2

[2ksin2β-（1-k²）cos2β]，
∵2ksin2β-（1-k²）cos2β=

4k2+(1-k2)2

sin（2β-θ）=（1+k²）sin（2β-θ），（tanθ=

1-k2

2k

）
∴當sin（2β-θ）=1時，2ksin2β-（1-k²）cos2β有最大值為1+k²，
由此可得|

EF

|²=

17

2

（k²+1）-

15

2

[2ksin2β-（1-k²）cos2β]的最小值為

17

2

（k²+1）-

15

2

（k²+1）=k²+1．
因此，|

EF

|的最小值為f（k）=

k2+1

．

點評：本題主要考查了平面向量的數量積公式及其運算性質、向量模的公式、向量的線性運算法則和三角恒等變換公式等知識，考查了計算能力和邏輯推理能力，屬于中檔題．