Question

（本題10分）已知，動點滿足，設動點的軌跡是曲線，直線：與曲線交于兩點.（1）求曲線的方程；
（2）若，求實數的值；
（3）過點作直線與垂直，且直線與曲線交于兩點，求四邊形面積的最大值.

Answer 1

（1）曲線的方程為；（2）。
（3）當時，四邊形面積有最大值7.

試題分析：（1）設為曲線上任一點，則由，化簡整理得。
（2）因為根據向量的關系式，，所以，所以圓心到直線的距離，所以 
（3）對參數k，分情況討論，當時，,
當時，圓心到直線的距離，所以
，同理得|PQ|，求解四邊形的面積。
解：（1）設為曲線上任一點，則由，化簡整理得。
曲線的方程為              --------------3分 
（2）因為，所以，
所以圓心到直線的距離，所以。   -----6分
（3）當時，,
當時，圓心到直線的距離，所以
，同理得
所以
=7當且僅當時取等號。
所以當時，
綜上，當時，四邊形面積有最大值7.           --11
點評：解決該試題的關鍵是設出所求點滿足的關系式，化簡得到軌跡方程，同時利用聯立方程組的思想得到長度和面積的表示。