Question

【題目】已知函數f（x）=2sin（ωx），其中常數ω＞0

（1）令ω=1，判斷函數的奇偶性，并說明理由；

（2）令ω=2，將函數y=f（x）的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數y=g（x）的圖象，對任意a∈R，求y=g（x）在區間[a，a+10π]上零點個數的所有可能值．

Answer 1

【答案】（1）F（x）既不是奇函數，也不是偶函數（2）21或20

【解析】

（1）特值法：ω＝1時，寫出f（x）、F（x），求出F（）、F（），結合函數奇偶性的定義可作出正確判斷；

（2）根據圖象平移變換求出g（x），令g（x）＝0可得g（x）可能的零點，而[a，a+10π]恰含10個周期，分a是零點，a不是零點兩種情況討論，結合圖象可得g（x）在[a，a+10π]上零點個數的所有可能值.

（1）f（x）＝2sinx，

F（x）＝f（x）+f（x）＝2sinx+2sin（x）＝2（sinx+cosx），

F（）＝2，F（）＝0，F（）≠F（），F（）≠﹣F（），

所以，F（x）既不是奇函數，也不是偶函數．

（2）f（x）＝2sin2x，

將y＝f（x）的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位后得到y＝2sin2（x）+1的圖象，所以g（x）＝2sin2（x）+1．

令g（x）＝0，得x＝kπ或x＝kπ（k∈z），

因為[a，a+10π]恰含10個周期，所以，當a是零點時，在[a，a+10π]上零點個數21，

當a不是零點時，a+kπ（k∈z）也都不是零點，區間[a+kπ，a+（k+1）π]上恰有兩個零點，故在[a，a+10π]上有20個零點．

綜上，y＝g（x）在[a，a+10π]上零點個數的所有可能值為21或20．