Question

已知復數z₁=2cosθ+isinθ，z₂=1-isinθ，其中i為虛數單位，θ∈R．
（1）當z₁，z₂是實系數一元二次方程x²+mx+n=0的兩個虛根時，求m、n的值．
（2）求|z₁•

.

z2

|的值域．

Answer 1

分析：（1）由于z₁，z₂是方程3x²-2x+c=0的兩個復數根故z₁=

.

z2

，求出θ，再根據根與系數的關系可求出m，n．
（2）直接求出|z₁•

.

z2

|的表達式，利用三角函數以及二次函數的性質，求出值域即可．

解答：解：（1）復數z₁=2cosθ+isinθ，z₂=1-isinθ，
z₁，z₂是實系數一元二次方程x²+mx+n=0的兩個虛根，
所以z₁=

.

z2

，即2cosθ+isinθ=1+isinθ，所以

2cosθ=1 sinθ=sinθ

，所以cosθ=

1

2

．
m=-z₁-z₂=-（z₁+z₂）=-2cosθ-1=-2．
n=z₁•z₂=1+sin²θ=

7

4

．
（2）|z₁•

.

z2

|=|（2cosθ+isinθ）（1+isinθ）|
=|（2cosθ+isinθ）||（1+isinθ）|
=

(1+3cos2θ)(1+sin2θ)

=

2+2cos2θ+ 3 4 sin22θ

=

3+cos2θ+ 3 4 - 3 4 cos22θ

=

15 4 +cos2θ- 3 4 cos22θ

=

49 12 - 3 4 (cos2θ- 1 3 )2

∈[

2

，

7 3

6

]．

點評：本題考查復數的代數表示法及其幾何意義，復數的基本概念，三角函數的有界性，是綜合試題．