Question

定義：若平面點集A中的任一個點（x₀，y₀），總存在正實數r，使得集合B={（x，y）|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，則稱A為一個開集，給出下列集合：
①{（x，y）|x²+y²=1}
②{（x，y）||x+y+2|≥1}
③{（x，y）||x|+|y|＜1}
④{（x，y）|0＜x²+（y-1）²＜1}
其中是開集的是（　　）

• A、③④
• B、②④
• C、①②
• D、②③

Answer 1

考點：集合的表示法

專題：新定義,集合

分析：根據開集的定義逐個驗證選項，即可得到答案．①表示以原點為圓心，1為半徑的圓，則在該圓上任意取點（x₀，y₀），即可判斷；②表示兩條平行直線之外的區域，（含兩直線），在直線上任取一點（x₀，y₀），即可判斷；③表示中心為原點的正方形的內部，在該正方形中任取一點（x₀，y₀），即可判斷；④表示以（0，1）為圓心，1為半徑，除去圓心和圓周的圓面．在該平面點集A中的任一點（x₀，y₀），即可判斷．

解答：解：①{（x，y）|x²+y²=1}表示以原點為圓心，1為半徑的圓，則在該圓上任意取點（x₀，y₀），
以任意正實數r為半徑的圓面，均不滿足{（x，y）|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，
故①不是開集；
②{（x，y）||x+y+2|≥1}表示兩條平行直線x+y+1=0，x+y+3=0之外的區域，（含兩直線），
在直線上任取一點（x₀，y₀），以任意正實數r為半徑的圓面，均不滿足
{（x，y）|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，
故②不是開集；
③{（x，y）||x|+|y|＜1}表示中心為原點，頂點為（1，0），（-1，0），（0，1），（0，-1）
的正方形的內部，在該正方形中任取一點（x₀，y₀），則該點到正方形邊界上的點的最短距離為d，
取r=d，則滿足{（x，y）|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A．
故③是開集；
④{（x，y）|0＜x²+（y-1）²＜1}表示以（0，1）為圓心，1為半徑，除去圓心和圓周的圓面．
在該平面點集A中的任一點（x₀，y₀），則該點到圓周上的點的最短距離為d，取r=d，
滿足{（x，y）|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，
故④是開集．
故選：A．

點評：本題主要考查學生的閱讀能力和對新定義的理解，如果一個集合是開集，則該集合表示的區域應該是不含邊界的平面區域．本題的難點在于對新定義的理解．