Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，焦距為2

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，且經過點M（4，1），直線l：x-y+m=0交橢圓于不同的兩點A，B．
（1）求m的取值范圍；
（2）若直線l不經過點M，求證：直線MA，MB的斜率互為相反數．

Answer 1

分析：（1）設橢圓的方程，由焦距知2c與a²、b²、c²的關系，又橢圓過點M，代入方程可得b²、a²，從而得橢圓方程，將直線l代入橢圓方程，使方程有二不等實根即得；
（2）設直線MA，MB的斜率分別為k₁和k₂，由（1）中方程有二不等實根得x₁+x₂，x₁x₂，求出k₁+k₂=0即可．

解答：解：（1）設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），∵2c=2

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，∴a²=b²+c²=b²+15，
又∵橢圓過點M（4，1），∴

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a2

+

1

b2

=1，解得b²=5，a²=20；
故橢圓的方程為：

x2

20

+

y2

5

=1，
將y=x+m代入

x2

20

+

y2

5

=1，整理得5x²+8mx+4m²-20=0，
∴△=（8m）²-20（4m²-20）＞0，解得-5＜m＜5；
（2）設直線MA，MB的斜率分別為k₁和k₂，只要證明k₁+k₂=0；
設∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由5x²+8mx+4m²-20=0，知x₁+x₂=-

8m

5

，x₁x₂=

4m2-20

5

，
∴k₁+k₂=

y1-1

x1-4

+

y2-1

x2-4

=

(y1-1)(x2-4)+(y2-1)(x1-4)

(x1-4)(x2-4)

，
分子=（x₁+m-1）（x₂-4）+（x₂+m-1）（x₁-4）=2x₁x₂+（m-5）（x₁+x₂）-8（m-1）=

2(4m2-20)

5

-

8m(m-5)

5

-8（m-1）=0，
所以，直線MA、MB的斜率互為相反數．

點評：本題考查了直線與橢圓的位置關系的應用，由直線與曲線方程聯立，用根與系數的關系式，是解答這類問題的常用方法；也考查了一定的運算能力和邏輯推理能力．