Question

已知拋物線y²=-8mx(m>0),是否存在過拋物線的焦點F的弦PQ,使△POQ的面積最大或最小?若存在,求出PQ所在直線的傾斜角;若不存在,請說明理由.

Answer 1

1、S_△POQ=·8m·2m=8m².
2、S_△POQ有最小值,且最小值為8m²,此時傾斜角為90°,但S_△POQ無最大值.

(1)當PQ垂直于x軸時,S_△POQ=·8m·2m=8m².

(2)當PQ不與x軸垂直時,設PQ:y=k(x+2m)(k≠0),即x=-2m.
代入拋物線方程得ky²+8my-16km²=0.
故可求得|y₁-y₂|=8m.
∴S_△POQ=|y₁-y₂|·|OF|=|y₁-y₂|·2m=4m·2m=8m²·>8m².
∴S_△POQ有最小值,且最小值為8m²,此時傾斜角為90°,但S_△POQ無最大值.