Question

在平面直角坐標系xOy中，如圖，已知橢圓C：的上、下頂點分別為A、B，點P在橢圓C上且異于點A、B，直線AP、PB與直線l：y＝－2分別交于點M、N.

（1）設直線AP、PB的斜率分別為k₁，k₂，求證：k₁·k₂為定值；
（2）求線段MN長的最小值；
（3）當點P運動時，以MN為直徑的圓是否經過某定點？請證明你的結論．

Answer 1

（1）k₁·k₂＝.＝＝－（2）MN長的最小值是4.
（3）為直徑的圓恒過定點（或點）

試題分析：解：（1）由題設可知，點A(0，1)，B(0，－1).
令P(x₀，y₀)，則由題設可知x₀≠0.
所以，直線AP的斜率k₁＝，PB的斜率為k₂＝.           2分
又點P在橢圓上，所以（x₀≠0），從而有
k₁·k₂＝.＝＝－.                             4分
（2）由題設可以得到直線AP的方程為y－1＝k₁(x－0)，直線PB的方程為
y－(－1)＝k₂(x－0).
由，解得；
由，解得.
所以，直線AP與直線l的交點，直線PB與直線l的交點.
7分
于是，又k₁·k₂＝－，所以
≥2＝4，
等號成立的條件是，解得.
故線段MN長的最小值是4.                                      10分
（3）設點Q(x,y)是以MN為直徑的圓上的任意一點，則＝0，故有.
又，所以以MN為直徑的圓的方程為
.                           13分
令，解得或.
所以，以為直徑的圓恒過定點（或點）．16分
注：寫出一點的坐標即可得分.
點評:研究直線與圓的位置關系，以及直線與橢圓的位置關系，并結合向量的知識來處理，圓過定點的問題，利用數量積為零，屬于基礎題。