Question

【題目】設函數f（x）=x（ex﹣1）﹣ax2（e=2.71828…是自然對數的底數）．
（1）若 ，求函數f（x）的單調區間；
（2）若f（x）在（﹣1，0）內無極值，求a的取值范圍；
（3）設n∈N* ， x＞0，求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當 時，

所以f'（x）=ex﹣1+xex﹣x=（ex﹣1）（x+1）

當x∈（﹣∞，﹣1）時，f'（x）＞0；當x∈（﹣1，0）時，f'（x）＜0；

當x∈（0，+∞）時，f'（x）＞0

故f（x）在（﹣∞，﹣1），（0，+∞）單調遞增，在（﹣1，0）單調遞減

（2）解：若f（x）在（﹣1，0）內無極值，則f（x）在（﹣1，0）上單調，

又f'（x）=（x+1）ex﹣2ax﹣1

①若f（x）在（﹣1，0）上遞減，則f'（x）≤0，對x∈（﹣1，0）恒成立，

于是有 ，令 ，

下面證明h（x）在（﹣∞，0）上單調遞增： ，令r（x）=（r﹣1）ex+1，則r'（x）=（x﹣1）ex+ex=xex

當x＜0時，r'（x）＜0，r（x）單調遞減，r（x）＞r（0）=0，h'（x）＞0h（x）在（﹣∞，0）單調遞增．

當x∈（﹣1，0）時，由g（x）=ex+h（x）是增函數，得g（x）＞g（﹣1）=1．

由2a≤g（x），得 ；

②若f（x）在（﹣1，0）上單調遞增，則f'（x）≥0，對x∈（﹣1，0）恒成立，

于是2a≥g（x），當x∈（﹣1，0）時，由ex＞x+1得 ，

從而增函數g（x）=ex+h（x）＜2，這樣2a＞2，a＞1．綜上得

（3）證明：用數學歸納法證明①當n=1時，ex＞x+1，不等式成立；

②假設n=k時不等式成立，即 ，

當n=k+1時，令

顯然（0）=0，由歸納假設， 對x＞0成立，

所以（x）在（0，+∞）上單調遞增，當x＞0時，（x）＞（0）=0，即當n=k+1

時，不等式也成立．

綜合①②n∈N+，x＞0時，

【解析】（1）當 時，f'（x）=ex﹣1+xex﹣x=（ex﹣1）（x+1），由此利用導數性質能求出函數f（x）的單調區間．（2）若f（x）在（﹣1，0）內無極值，則f（x）在（﹣1，0）上單調，又f'（x）=（x+1）ex﹣2ax﹣1，由此利用分類討論思想及導數的性質能求出a的取值范圍．（3）用數學歸納法能證明 ．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．