Question

設函數的定義域為E，值域為F．
（1）若E={1，2}，判斷實數λ=lg²2+lg2lg5+lg5﹣與集合F的關系；
（2）若E={1，2，a}，F={0，}，求實數a的值．
（3）若，F=[2﹣3m，2﹣3n]，求m，n的值．

Answer 1

(1);(2)或；(3).

解析試題分析：(1)將定義域的兩個值代入求出值域,并化簡，判定元素與集合的關系；
（2）令或,解出值，根據集合元素的互異性，求出值.
(3)先根據判定函數的單調性，然后討論或時，定義域的端點和值域的端點的對應關系問題，從而列出方程組求解.
試題解析：解：（1）∵，∴當x=1時，f（x）=0；當x=2時，f（x）=，
∴F={0，}．
∵λ=lg²2+lg2lg5+lg5﹣16=lg2（lg2+lg5）+lg5﹣=lg2+lg5﹣=lg10﹣=．
∴λ∈F． （5分）
（2）令f（a）=0，即，a=±1，取a=﹣1；
令f（a）=，即，a=±2，取a=﹣2，
故a=﹣1或﹣2． （9分）
（3）∵是偶函數，且f'（x）=＞0，
則函數f（x）在（﹣∞，0）上是減函數，在（0，+∞）上是增函數．
∵x≠0，∴由題意可知：或0＜．
若，則有，即，
整理得m²+3m+10=0，此時方程組無解；
若0＜，則有，即，
∴m，n為方程x²﹣3x+1=0，的兩個根．∵0＜，∴m＞n＞0，
∴m=，n=．（16分）
考點：1.函數的定義域與值域的關系；2.函數的單調性與最值.