Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，以兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)面積為的正方形（記為）

（Ⅰ）求橢圓的方程

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)是直線與軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)線段的中點(diǎn)落在正方形內(nèi)（包括邊界）時(shí)，求直線斜率的取值范圍

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 橢圓的方程為；（Ⅱ）直線斜率的取值范圍為．

【解析】

試題分析：（I）求橢圓的方程，設(shè)出橢圓的方程，根據(jù)正方形的面積為，求出橢圓中參數(shù)的值且判斷出參數(shù)的關(guān)系，根據(jù)橢圓的三個(gè)參數(shù)的關(guān)系求出的值，從而得到橢圓的方程．（II）設(shè)出直線的方程，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用二次方程的韋達(dá)定理，可得到弦中點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)線段的中點(diǎn)落在正方形內(nèi)部（包括邊界），得到中點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的不等關(guān)系，即，從而可求的的范圍．

試題解析：（Ⅰ）依題意，設(shè)橢圓C的方程為=1(a>b>0),焦距為2c，

由題設(shè)條件知，a²=8,b=c, 所以b²=a²=4

故橢圓C的方程為=1             (4分) 

（Ⅱ）橢圓C的左準(zhǔn)線方程為x=-4,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4,0），

顯然直線l的斜率k存在，所以直線的方程為y=k(x+4)。

如圖，設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x₁,y₁),(x₂,y₂),線段MN的

中點(diǎn)為G(x₀,y₀)，  由，

得(1+2k²)x²+16k²x+32k²-8=0       ①   （6分）

由D=(16k²)²-4(1+2k²)(32k²-8)>0

解得<k<       ②        （7分）

因?yàn)閤₁,x₂是方程①的兩根，所以x₁+x₂=，

于是x₀==,y₀=k(x₀+4)=    （8分）

∵x₀=≤0，所以點(diǎn)G不可能在y軸的右邊.      （9分）

又直線F₁B₂,F₁B₁方程分別為y=x+2,y=-x-2

所以點(diǎn)G在正方形Q內(nèi)（包括邊界）的充要條件為

即                  （10分）

解得≤k≤，此時(shí)②也成立．     （12分）

故直線l斜率的取值范圍是[,].    (13分)

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．