Question

（2009•武漢模擬）設無窮數列{aⁿ}系：a₁=1，2a_n+1-a_n=

n-2

n(n+1)(n+2)

（n≥1）
（1）求a₂，a₃
（2）若b_n=a_n-

1

n(n+1)

，求證數列{b_n}是等比數列
（3）若S_n為數列{a_n}前n項的和，求S_n．

Answer 1

分析：（1）由a₁=1，2a_n+1-a_n=

n-2

n(n+1)(n+2)

（n≥1），分別取n=1，2即可得出．
（2）由b_n=a_n-

1

n(n+1)

，代入遞推式中化簡即可證明數列{b_n}是等比數列．
（3）由（2）可知：bn=(

1

2

)n，an=(

1

2

)n+

1

n(n+1)

=(

1

2

)n+(

1

n

-

1

n+1

)，利用等比數列的前n項和公式及其裂項求和即可得出．

解答：解：（1）由a₁=1，2a_n+1-a_n=

n-2

n(n+1)(n+2)

（n≥1），
∴2a2-a1=

-1

1×2×3

，解得a2=

5

12

．
同理可得a3=

5

24

．
（2）由b_n=a_n-

1

n(n+1)

，代入遞推式中可得：2(bn+1+

1

(n+1)(n+2)

)-(bn+

1

n(n+1)

)=

n-2

n(n+1)(n+2)

，
∴2bn+1-bn+

2n

n(n+1)(n+2)

-

n+2

n(n+1)(n+2)

=

n-2

n(n+1)(n+2)

，
∴2b_n+1=b_n，且b1=a1-

1

2

=

1

2

．
∴數列{b_n}是首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數列．
（3）由（2）可知：bn=(

1

2

)n，
∴an=(

1

2

)n+

1

n(n+1)

=(

1

2

)n+(

1

n

-

1

n+1

)
∴數列{a_n}前n項和S_n=

1 2 ×[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

+1-

1

n+1

=2-(

1

2

)n-

1

n+1

．

點評：正確理解遞推式的含義、等比數列的定義、通項公式及其前n項和公式是解題的關鍵．