Question

（2009•武漢模擬）已知函數f（x）=mx³+nx²（m，n∈R，m＞n且m≠0）的圖象在（2，f（2））處的切線與x軸平行．
（1）求m與n的關系式及f（x）的極大值；
（2）若函數y=f（x）在區間[n，m]上有最大值為m-n²，試求m的值．

Answer 1

分析：（1）先求函數f（x）的導函數f′（x），再由圖象在（2，f（2））處的切線與x軸平行，即f′（2）=0得n=-3m，m＞0，再通過解不等式得函數的單調區間，最后利用極值定義求得極值點和極大值
（2）因為f（x）=mx³-3mx²的零點為0，3，結合（1）中對函數單調性的討論，可知只需討論0＜m≤3，m＞3兩種情況下函數在[n，m]上的最大值即可，最后解關于m的方程即可得m的值

解答：解：（1）∵f′（x）=3mx²+2nx
由圖象在（2，f（2））處的切線與x軸平行，知f′（2）=0
∴n=-3m，m＞0   ①
令f′（x）=3mx²+2nx=3mx²-6mx=0
得x=0或x=2，
∴f（x）在（-∞，0）上是增函數，在（0，2）上是減函數，在（2，+∞）上是增函數
∴x=0是f（x）的極大值點，x=2是極小值點．
∴極大值為f（0）=0；      
（2）令f（x）=f（0）=0，得x=0或x=3
（I）當0＜m≤3時，f（x）_max=f（0）=0，∴m-n²=0 ②
由①，②解得m=

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，符合前提0＜m≤3．
（II）當m＞3時，f（x）_max=f（m）=m⁴+m²n
∴m⁴+m²n=m-n²   ③
由①，③得m³-3m²+9m-1=0，
∵m＞3時，m³-3m²+9m-1=m²（m-3）+9m-1＞0
∴m³-3m²+9m-1=0在（3，+∞）上無實數根．
綜上討論可知，m的值為m=

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點評：本題考察了導數的幾何意義，利用導數求函數的極值，利用導數求函數在閉區間上的最值等知識