Question

已知函數(shù)f（x）=sinx+cosx，f'（x）是f（x）的導函數(shù)
（1）當x∈[0，

π

2

]時求函數(shù)g(x)=f(x)f′(x)+f2(x)的值域．
（2）在直角坐標系中畫出y=g(x)-1在[-

π

2

，

π

2

]上的圖象．

Answer 1

分析：（1）利用導數(shù)的運算法則即可得到f^′（x），再利用倍角公式及其平方關(guān)系即可f（x）f^′（x）及f²（x），即可得到g（x），再利用兩角和的正弦公式即可h=化簡g（x），利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得到函數(shù)g（x）的值域；
（2）利用“五點法”通過列表、描點、連線即可得到圖象．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=sinx+cosx，∴f'（x）=cosx-sinx，∴f（x）f^′（x）=（sinx+cosx）（cosx-sinx）=cos²x-sin²x=cos2x，f²（x）=1+sin2x，
∴g（x）=cos2x+sin2x+1，
∴g(x)=

2

sin(2x+

π

4

)+1，
∵x∈[0，

π

2

]，∴(2x+

π

4

)∈[

π

4

，

5π

4

]，∴-

2

2

≤sin(2x+

π

4

)≤1，
∴y∈[0，

2

+1]．
（2）y=g（x）-1=

2

sin(2x+

π

4

)，x∈[-

π

2

，

π

2

]．
列表如右：
畫出圖象：

點評：熟練掌握導數(shù)的運算法則、倍角公式和平方關(guān)系、兩角和差的正弦公式、三角函數(shù)的“五點法”畫圖象及其性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵．