Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形，直線x-y+b=0是拋物線y²=4x的一條切線．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點S（0，

1

3

）的動直線L交橢圓C于A、B兩點．問：是否存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過點T？若存在，求點T坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

x-y+b=0 y2=4x

消去y，得：x²+（2b-4）x+b²=0，因直線y=x+b與拋物線y²=4x相切，b=1．圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）當L與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：x2+(y+

1

3

)2=(

4

3

)2，當L與x軸垂直時，以AB為直徑的圓的方程：x²+y²=1．由

x2+(y+ 1 3 )2=( 4 3 )2 x2+y2=1

，解得兩圓公共點（0，1）．因此所求的點T如果存在，只能是（0，1）．由此能夠導出以AB為直徑的圓恒過點T（0，1）．

解答：解：（Ⅰ）由

x-y+b=0 y2=4x

消去y，得：x²+（2b-4）x+b²=0，
因直線y=x+b與拋物線y²=4x相切，∴△=（2b-4）²-4b²，∴b=1．…（2分）
∵圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形，
∴a=

2

b=

2

，…（4分）
故所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1．…（5分）
（Ⅱ）當L與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：x2+(y+

1

3

)2=(

4

3

)2，
當L與x軸垂直時，以AB為直徑的圓的方程：x²+y²=1
由

x2+(y+ 1 3 )2=( 4 3 )2 x2+y2=1

解得

x=0 y=1

，
即兩圓公共點（0，1）因此，所求的點T如果存在，只能是（0，1）…（7分）
（ⅰ）當直線L斜率不存在時，以AB為直徑的圓過點T（0，1）
（ⅱ）若直線L斜率存在時，可設直線L：y=kx-

1

3

．
由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

，消去y得：（18k²+9）x²-12kx-16=0，
記點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則

x1+x2= 12k 18k2+9 x1x2= -16 18k2+9

，…（9分）
∵

TA

=(x1，y1-1)，

TB

=(x2，y2-1)，
∴

TA

•

TB

=x1x2+(y1-1)(y2-1)
=x1x2+(kx1-

4

3

)(kx2-

4

3

)
=(1+k2)x1 x2-

4

3

k(x1+x2)+

16

9

=(1+k2)•

-16k

18k2

-

4

3

k•

12k

18k2+9

+

16

9

=0．
∴TA⊥TB，…（11分）
綜合（ⅰ）（ⅱ），以AB為直徑的圓恒過點T（0，1）．           …（12分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．