Question

已知A（3，

3

），O是原點，點P（x，y）的坐標滿足

3 x-y≤0 x- 3 y+2≥0 y≥0

，則
（Ⅰ）

OA • OP

| OA |

 的最大值為

 

；
（Ⅱ）

OA • OP

| OP |

的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：簡單線性規劃

專題：不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）作出不等式組對應的平面區域，利用數形結合即可得到結論．
（Ⅱ）根據數量積的定義轉化為向量夾角問題即可得到結論．

解答： 解：（Ⅰ）∵A（3，

3

），O是原點，點P（x，y），
∴z=

OP • OA

| OA |

=

3x+ 3 y

2 3

=

3

2

x+

1

2

y，
即y=-

3

x+2z，
作出不等式組對應的平面區域如圖：
平移直線y=-

3

x+2z，當y=-

3

x+2z經過點B時直線y=-

3

x+2z的截距最大，此時z最大，
當y=-

3

x+2z經過點C（-2，0）時，直線的截距最小，此時z最�。�此時z_min=

3

，
由

3 x-y=0 x- 3 y+2=0

，得

x=1 y= 3

，即B（1，

3

），
此時最大值z=

3

2

+

3

2

=

3

，
（Ⅱ）

OA • OP

| OP |

=

| OA || OP |cosθ

| OP |

=|OA|cosθ=2

3

cosθ，
由圖象可知當P在直線OB上時，此時θ最小，
當P在直線OC上時，此時θ最大，
∵A（3，

3

），∴OA的傾斜角為30°，OB的傾斜角為60°，
則θ最小值為60°-30°=30°，θ最大值為180°-30°=150°，
即30°≤θ≤150°，則-

3

2

≤cosθ≤

3

2

，
則-3≤2

3

cosθ≤3，
故答案為：

3

，[-3，3]

點評：本題主要考查線性規劃的應用，根據z的幾何意義，利用數形結合是解決本題的關鍵．