Question

若不等式x³+x²+a＜0對一切x∈[0，2]恒成立，則a的取值范圍是

{a|a＜-12}

．

Answer 1

分析：求不等式x³+x²+a＜0對一切x∈[0，2]恒成立時(shí)a的取值范圍，轉(zhuǎn)化為a＜-x³-x²后，求t=-x³-x²在x∈[0，2]的最小值即可．

解答：解：∵x³+x²+a＜0，∴a＜-x³-x²；
設(shè)t=-x³-x²，則t，=-3x²-2x；
令-3x²-2x=0，解得x=0，或x=-

2

3

；
當(dāng)x＞0時(shí)，t，＜0，∴t=-x³-x²在x∈[0，2]上是減函數(shù)；
∴當(dāng)x=2時(shí)，t有最小值t_min=-2³-2²=-12；
∴不等式x³+x²+a＜0對一切x∈[0，2]恒成立時(shí)a的取值范圍是{a|a＜-12}．
故答案為：{a|a＜-12}．

點(diǎn)評：本題考查了一元二次不等式與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為函數(shù)后，求函數(shù)的最小值，屬于中檔題．