Question

已知函數f（x）=

x3(x＞0) (3-a)x-a(x≤0)

，給出下列四個命題：
（1）當a＞0時，函數f（x）的值域為[0，+∞），
（2）對于任意的x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，若

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0恒成立，則a∈[0，3）；  
（3）對于任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，恒有

f(x1)+f(x)2

2

＜f（

x1+x2

2

）；  
（4）對于任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，若不等式|f（x₁）-f（x₂）|＞t|x₁-x₂|恒成立，則t的最大值為0．其中正確的有

（2）（4）

（只填相應的序號）

Answer 1

分析：對于（1）當特殊值a=3時，函數f（x）=

x3(x＞0) -3(x≤0)

，函數f（x）的值域為{3}∪[0，+∞）；（2）對于任意的x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，若

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0恒成立，說明曲線上任意兩點連線的斜率大于0，得出a的取值范圍；對于（3）對于任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，由于三次函數的圖象是下凸的；（4）對于任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，由三次函數的圖象可知，對于其圖象上任意兩點的斜率的絕對值|

f(x 1)-f(x 2)

x 1-x2

|＞0，利用不等式t＜|

f(x 1)-f(x 2)

x 1-x2

|恒成立求得t的最大值．

解答：解：對于（1）當a=3時，函數f（x）=

x3(x＞0) -3(x≤0)

，函數f（x）的值域為{3}∪[0，+∞），故錯；
（2）對于任意的x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，若

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0恒成立，說明曲線上任意兩點連線的斜率大于0，對于x≤0 時，射線y=（3-a）x-a的斜率3-a＞0，則a＜3，又當a＜0時，分段函數的圖象如圖所示，圖象上有兩點的連線的斜率小于0，不符合題意．故a∈[0，3）； 正確；
對于（3）對于任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，
由于三次函數的圖象是下凸的，如圖，利用梯形的中位線性質，得：

f(x1)+f(x2)

2

＞f（

x1+x2

2

）；故（3）不正確；
（4）對于任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，由三次函數的圖象可知，對于其圖象上任意兩點的斜率的絕對值|

f(x 1)-f(x 2)

x 1-x2

|＞0，不等式t＜|

f(x 1)-f(x 2)

x 1-x2

|恒成立，則t≤0，則若不等式|f（x₁）-f（x₂）|＞t|x₁-x₂|恒成立，則t的最大值為0．正確．
故答案為：（2）（4）．

點評：本小題主要考查函數單調性的性質、命題的真假判斷與應用、函數的最值及其幾何意義等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．