Question

已知數列具有性質：①為整數；②對于任意的正整數，當為偶數時，；當為奇數時，.
（1）若為偶數，且成等差數列，求的值；
（2）設(且N)，數列的前項和為，求證：；
（3）若為正整數，求證：當(N)時，都有.

Answer 1

(1) 0或2；（2）證明見試題解析；（3）證明見試題解析．

解析試題分析：（1）根據數列具有性質，為偶數，要，這時要求，必須討論的奇偶性，分類討論；（2）要證不等式，最好能求出，那么也就要求出數列的各項，那么我們根據數列定義，由為奇數，則為奇數，為偶數，接下來各項都是偶數，一起到某項為1，下面一項為0，以后全部為0．實際上項為1的項是第項（成等比數列），故可求；（3）由于是正整數，要證明從某一項開始，數列各項均為0，這提示我們可首先證明為非負（這可用數學歸納法加以證明），然后由于數列的關系，可見數列在出現0之前，是遞減的，下面要考慮的是遞減的速度而已．當為偶數時，；當為奇數時，，因此對所有正整數，都有，依此類推有，只要，則有．
試題解析：（1）∵為偶數，∴可設，故，
若為偶數，則，由成等差數列，可知，
即，解得，故；   （2分）
若為奇數，則，由成等差數列，可知，
即，解得，故；
∴的值為0或2．     （4分）
（2）∵是奇數，∴，
，，依此類推，
可知成等比數列，且有，
又，，，
∴當時，；當時，都有．       （3分）
故對于給定的，的最大值為

，所以． （6分）
（3）當為正整數時，必為非負整數．證明如下：
當時，由已知為正整數， 可知為非負整數，故結論成立；
假設當時，為非負整數，若