Question

設數列 {a_n} 中，a₁＝a，a_n＋1＋2a_n＝2^n＋1（n∈N*）．
（Ⅰ）若a₁，a₂，a₃成等差數列，求實數a的值；
（Ⅱ）試問數列 {a_n} 能為等比數列嗎？若能，試寫出它的充要條件并加以證明；若不能，請說明理由．

Answer 1

解（Ⅰ），
因為，所以，得   4分
（Ⅱ）方法一：因為，所以，
得：，
當時,,顯然成立;
當時,是以為首項，－1為公比的等比數列，
所以，得：

為等比數列為常數，易得當且僅當時，為常數。
方法二：因為，所以，
即，故是以為首項，－2為公比的成等比數列，
所以，得：（下同解法一）
方法三：由前三項成等比得，進而猜測，對于所有情況都成立，再證明。

略