Question

已知動圓與圓相切，且與圓相內切，記圓心的軌跡為曲線；設為曲線上的一個不在軸上的動點，為坐標原點，過點作的平行線交曲線于兩個不同的點.
（1）求曲線的方程；
（2）試探究和的比值能否為一個常數？若能，求出這個常數，若不能，請說明理由；
（3）記的面積為，的面積為，令，求的最大值.

Answer 1

（1）圓心的軌跡：；
（2）和的比值為一個常數，這個常數為；
（3）當時，取最大值.

試題解析：（1）設圓心的坐標為，半徑為 
由于動圓與圓相切，且與圓相內切，所以動
圓與圓只能內切
                               2分
圓心的軌跡為以為焦點的橢圓，其中，

故圓心的軌跡：                                             4分
（2）設，直線，則直線
由可得：，
                       6分
由可得：


                        8分

和的比值為一個常數，這個常數為                            9分
（3），的面積的面積，
到直線的距離
                     11分
令，則

（當且僅當，即，亦即時取等號）
當時，取最大值                                13分