Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知側面，AB=BC=1，BB₁=2，∠BCC₁=.
(1) 求證：C₁B⊥平面ABC；
（2）設 =l(0≤l≤1)，且平面AB₁E與BB₁E所成的銳二面角  
的大小為30°，試求l的值.

Answer 1

(1)證明見解析；（2）

解析試題分析：(1)利用已知的線面垂直關系建立空間直角坐標系，準確寫出相關點的坐標，從而將幾何證明轉化為向量運算.其中靈活建系是解題的關鍵.(2)證明線面垂直，需證線線垂直，只需要證明直線的方向向量垂直；（3)把向量夾角的余弦值轉化為兩平面法向量夾角的余弦值;(4）空間向量將空間位置關系轉化為向量運算，應用的核心是要充分認識形體特征，建立恰當的坐標系，實施幾何問題代數化.同時注意兩點：一是正確寫出點、向量的坐標，準確運算；二是空間位置關系中判定定理與性質定理條件要完備.
試題解析：1）因為側面,側面，故,
在中, 由余弦定理得：
，
所以，   3 分 
故,所以,而平面.  5分
（2）由（1）可知，兩兩垂直.以為原點，所在直線為
 軸建立空間直角坐標系．
則，,．  7分
所以,所以, 
則．設平面的法向量為，
則由,得,即，
令，則是平面的一個法向量．    10分
側面,是平面的一個法向量，
.
兩邊平方并化簡得，所以=1或（舍去）.    12分
考點：（1）證明直線與平面垂直；（2）利用空間向量解決二面角問題.