Question

【題目】已知函數．

（1）求曲線在點處的切線方程和函數的極值：

（2）若對任意，都有成立，求實數的最小值．

Answer 1

【答案】（1）切線方程為，函數在時，取得極小值（2）1

【解析】

試題分析：（1）根據導數幾何意義得曲線在處的切線斜率等于，再根據，利用點斜式可得切線方程為，求函數極值，首先求導函數零點：，列表分析導函數符號變化規律，確定函數極值（2）不等式恒成立問題一般轉化為對應函數最值問題：，再根據函數定義域討論函數最值取法：

若，；

若，

試題解析：（1）因為，所以，

因為，所以曲線在處的切線方程為．．．．．．．．．．3分

由解得，則及的變化情況如下：

		2
		0
	遞減	極小值	遞增

所以函數在時，取得極小值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）由題設知：當時，，當時，，

若，令，則，

由于，顯然不符合題設要求．．．9分

若，對，

由于，

顯然，當，對，不等式恒成立，

綜上可知，的最小值為1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分