Question

【題目】已知.

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）證明：當(dāng)時，.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）、（Ⅱ）見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）要證，即，設(shè)，則，. 再次構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)研究函數(shù)的性質(zhì)可得在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即可得證；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，當(dāng)時，且所以.當(dāng)對恒成立時，不等式恒成立.構(gòu)造函數(shù)，討論的單調(diào)性，即可得證.

試題解析：（Ⅰ）不等式，即不等式.

設(shè)，則，.

再次構(gòu)造函數(shù)，則在時恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，即成立.

（Ⅱ）由（Ⅰ）的解析可知，當(dāng)時，且，

所以.

當(dāng)對恒成立時，不等式恒成立.

不等式，即不等式對恒成立.

構(gòu)造函數(shù)，則，令，

則，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，

所以，故，即在上單調(diào)遞增，所以，

故恒成立.

故當(dāng)時，，

即當(dāng)時，不等式恒成立.