P(x0,y0)(x0≠±a)是雙曲線E:
-
=1(a>0,b>0)上一點,M,N分別是雙曲線E的左,右頂點,直線PM,PN的斜率之積為
.
(1)求雙曲線的離心率.
(2)過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A,B兩點,O為坐標原點,C為雙曲線上一點,滿足
=λ
+
,求λ的值.
(1) 
(2) λ=0或λ=-4
【解析】【思路點撥】(1)代入P點坐標,利用斜率之積為
列方程求解.
(2)聯立方程,設出A,B,
的坐標,代入=λ
+
求解.
【解析】
(1)由點P(x0,y0)(x0≠±a)在雙曲線
-
=1上,有
-
=1.
由題意又有
·
=,
可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,則e=
=.
(2)聯立方程得
得4x2-10cx+35b2=0,
設A(x1,y1),B(x2,y2),
則
設=(x3,y3),=λ+,
即
又C為雙曲線E上一點,即
-5
=5b2,
有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2,
化簡得:λ2(
-5
)+(
-5
)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2,
又A(x1,y1),B(x2,y2)在雙曲線E上,
所以-5=5b2,-5=5b2.
又x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)
=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2,
得:λ2+4λ=0,解出λ=0或λ=-4.
開心蛙狀元測試卷系列答案科目：高中數學 來源：2014年高考數學全程總復習課時提升作業五十四第八章第五節練習卷（解析版） 題型：選擇題
已知焦點在x軸上的橢圓的離心率為
,且它的長軸長等于圓C:x2+y2-2x-15=0的半徑,則橢圓的標準方程是( )
(A)
+
=1 (B)
+
=1
(C)+y2=1 (D)+
=1
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科目：高中數學 來源：2014年高考數學全程總復習課時提升作業五十八第八章第九節練習卷（解析版） 題型：解答題
已知橢圓C:
+
=1(a>b>0)的一個頂點A(2,0),離心率為
,直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點M,N.
(1)求橢圓C的方程.
(2)當△AMN的面積為
時,求k的值.
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科目：高中數學 來源：2014年高考數學全程總復習課時提升作業五十八第八章第九節練習卷（解析版） 題型：選擇題
已知任意k∈R,直線y-kx-1=0與橢圓
+
=1恒有公共點,則實數m的取值范圍是( )
(A)(0,1) (B)(0,5)
(C)[1,5)∪(5,+∞) (D)[1,5)
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科目：高中數學 來源：2014年高考數學全程總復習課時提升作業五十五第八章第六節練習卷（解析版） 題型：選擇題
已知點F1,F2分別是雙曲線
-
=1的左、右焦點,過F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點,若△ABF2為銳角三角形,則該雙曲線的離心率e的取值范圍是( )
(A)(1,1+
) (B)(1,
)
(C)(+1,+∞) (D)(-∞,1+)
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科目：高中數學 來源：2014年高考數學全程總復習課時提升作業五十五第八章第六節練習卷（解析版） 題型：選擇題
若雙曲線
-
=1的左焦點與拋物線y2=-8x的焦點重合,則m的值為( )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
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科目：高中數學 來源：2014年高考數學全程總復習課時提升作業五十九第八章第十節練習卷（解析版） 題型：解答題
直線l與橢圓
+
=1(a>b>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,已知m=(ax1,by1),n=(ax2,by2),若m⊥n且橢圓的離心離e=
,又橢圓經過點(,1),O為坐標原點.
(1)求橢圓的方程.
(2)試問:△AOB的面積是否為定值?如果是,請給予證明;如果不是,請說明理由.
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科目：高中數學 來源：2014年高考數學全程總復習課時提升作業五十七第八章第八節練習卷（解析版） 題型：選擇題
如果雙曲線的兩個焦點分別為F1(-3,0),F2(3,0),一條漸近線方程為y=
x,那么它的兩條準線間的距離是( )
(A)6
(B)4 (C)2 (D)1
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