Question

【題目】設數列{an}為等差數列，且a5=14，a7=20，數列{bn}的前n項和為Sn ， b1= 且3Sn=Sn﹣1+2（n≥2，n∈N）．
（Ⅰ）求數列{an}，{bn}的通項公式；
（Ⅱ）若cn=anbn ， n=1，2，3，…，Tn為數列{cn}的前n項和，Tn＜m對n∈N*恒成立，求m的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 數列{an}為等差數列，公差d= （a7﹣a5）=3，易得a1=2，
所以an=3n﹣1
由3Sn=Sn﹣1+2（n≥2，n∈N），得3Sn=Sn﹣bn+2，即bn=2﹣2Sn ，
所以b2=2﹣（b1+b2）
， 又 ，所以b2= ， =
由3Sn=Sn﹣1+2，當n≥3時，得3Sn﹣1=Sn﹣2+2，
兩式相減得：3（Sn﹣Sn﹣1）=Sn﹣1﹣Sn﹣2 ， 即3bn=bn﹣1 ， 所以 = （n≥3）
又 = ，所以{bn}是以 為首項， 為公比的等比數列，于是bn=2
（Ⅱ）cn=anbn=2（3n﹣1） ，
∴Tn=2[2 +5 +8 +…+（3n﹣1） ]，
Tn=2[2 +5 +…+（3n﹣4） +（3n﹣1） ]，
兩式相減得 Tn=2[3 +3 +3 +…+3 ﹣ ﹣（3n﹣1） ]
=2[1+ + + +…+ ﹣ ﹣（3n﹣1） ]
=2× ﹣ ﹣2（3n﹣1）
所以Tn= ﹣ ﹣ ，
從而Tn= ﹣ ﹣ ＜ ，
∵Tn＜m對n∈N+恒成立，∴m≥ ∴m的最小值是
【解析】（Ⅰ）依題意，可求得等差數列{an}的公差d=3，a1=2，從而可得數列{an}的通項公式；再由b1= 且3Sn=Sn﹣1+2（n≥2，n∈N），可求得 = （n≥3）， = ，從而可得{bn}是以 為首項， 為公比的等比數列，于是可求{bn}的通項公式；（Ⅱ）cn=anbn=2（3n﹣1） ，利用錯位相減法可求得{cn}的前n項和Tn ， 依題意可得Tn＜m對n∈N*恒成立時m的最小值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．