Question

（2011•佛山二模）如圖，已知幾何體的下部是一個底面是邊長為2的正六邊形、側面全為正方形的棱柱，上部是一個側面全為等腰三角形的棱錐，其側棱長都為

13

．
（1）證明：DF₁⊥平面PA₁F₁；
（2）求異面直線DF₁與B₁C₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：AF⊥FF₁并且AF⊥DF，再根據線面垂直的判定定理可得：AF⊥平面DFF₁．即可得到A₁F₁⊥DF₁，再根據線段的長度關系形成直角三角形進而得到：DF₁⊥PF₁；再結合線面垂直的判定定理得到線面垂直．
（2）根據幾何體的結構特征建立空間直角坐標系，分別求出兩條直線所在的向量，再結合向量之間的有關運算得到向量的夾角，進而轉化為兩條異面直線的夾角．

解答：解：（1）∵側面全為矩形，∴AF⊥FF₁；
在正六邊形ABCDEF中，AF⊥DF，…（1分）
又DF∩FF₁=F，∴AF⊥平面DFF₁；        …（2分）
∵AF∥A₁F₁，∴A₁F₁⊥平面DFF₁；
又DF₁?平面DFF₁，∴A₁F₁⊥DF₁；…（5分）
在△DFF₁中，FF₁=2，DF=2

3

，∴DF₁=4，
又PF1=PD1=

13

；
∴在平面PA₁ADD₁中，如圖所示，PD=

52+22

=

29

，
∴DF₁²+PF₁²=PD²，故DF₁⊥PF₁；                        …（7分）
又A₁F₁∩PF₁=F₁，∴DF₁⊥平面PA₁F₁．             …（8分）
（2）以底面正六邊形ABCDEF的中心為坐標原點O，以OD為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．
所以D（0，2，0），B1(

3

，-1，2)，C1(

3

，1，2)，F1(-

3

，-1，2)，
∴

B1C1

=(0，2，0)，

DF1

=(-

3

，-3，2)，…（11分）
設異面直線DF₁與B₁C₁所成角為θ，則θ∈(0，

π

2

]，
∴cosθ=|cos＜

B1C1

，

DF1

＞|=|

B1C1 • DF1

| B1C1 |•| DF1 |

|=|

-6

2×4

|=

3

4

…（13分）
異面直線DF₁與B₁C₁
所成角的余弦值為

3

4

．                                  …（14分）

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握幾何體的結構特征，進而得到空間中點、線、面的位置關系，結合有關定理進行證明即可，并且也有利于建立空間之間坐標系，利用向量的有關知識解決空間角與空間距離等問題．