Question

（2011•佛山二模）已知平面直角坐標系上的三點A（0，1），B（-2，0），C（cosθ，sinθ）（θ∈（0，π）），且

BA

與

OC

共線．
（1）求tanθ；
（2）求sin(2θ-

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（1）由A，B及C的坐標，表示出

BA

與

OC

的坐標，根據兩向量共線時滿足的條件列出關系式，整理后利用同角三角函數間的基本關系弦化切，即可求出tanθ的值；
（2）由tanθ的值大于0及θ的范圍，得到θ為銳角，利用同角三角函數間的基本關系列出關于sinθ和cosθ方程組，求出方程組的解得到sinθ和cosθ的值，再利用二倍角的正弦、余弦函數公式分別表示出sin2θ和cos2θ，將求出的sinθ和cosθ的值代入求出sin2θ和cos2θ的值，再利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡所求的式子后，將sin2θ和cos2θ的值代入即可求出值．

解答：解：（1）∵A（0，1），B（-2，0），C（cosθ，sinθ），
∴

BA

=（2，1），

OC

=（cosθ，sinθ），
∵

BA

與

OC

共線，
∴

2

cosθ

=

1

sinθ

，即2sinθ-cosθ=0，
則tanθ=

1

2

；
（2）∵tanθ=

1

2

＞0，θ∈（0，π），
∴θ∈（0，

π

2

），
由

tanθ= sinθ cosθ = 1 2 sin2θ+cos2θ=1

，得sinθ=

5

5

，cosθ=

2 5

5

，
∴sin2θ=2sinθcosθ=2×

5

5

×

2 5

5

=

4

5

；cos2θ=cos²θ-sin²θ=（

2 5

5

）²-（

5

5

）²=

3

5

，
則sin（2θ-

π

4

）=sin2θcos

π

4

-cos2θsin

π

4

=

4

5

×

2

2

-

3

5

×

2

2

=

2

10

．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，二倍角的正弦、余弦函數公式，共線向量的坐標表示，以及同角三角函數間的基本關系，熟練掌握公式及基本關系是解本題的關鍵．