Question

統計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y（升）關于行駛速度x（千米/小時）的函數解析式可以表示為：．已知甲、乙兩地相距100千米．
（I）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？
（Ⅱ）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？

Answer 1

（I）17.5；（Ⅱ）80千米/小時,11.25升.

解析試題分析：（I）將代入得到每小時的耗油量，再根據路程算出行駛時間，從而得到了從甲地到乙地的耗油量；（Ⅱ）設耗油量為升，通過每小時的耗油量及行駛時間得到的表達式.再通過求導研究其單調性，從而得到時的最小值.即得當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升.
試題解析：（I）當時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，
要耗油（升）．
答：當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升．
（II）當速度為x千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，設耗油量為升，
依題意得，令，得．
當x∈（0，80）時，h'（x）＜0，h（x）是減函數；
當x∈（80，120）時，h'（x）＞0，h（x）是增函數．∴當x=80時，h（x）取到極小值h（80）=11.25．
因為h（x）在（0，120]上只有一個極值，所以它是最小值．
答：當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升.    13分
考點：1.函數的單調性；2.利用導數研究函數單調性；3.函數的最值.