Question

（本小題滿分12分

如圖，在四棱錐中，底面四邊長(zhǎng)為1的菱形，, , ,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)

（Ⅰ）證明：直線；

（Ⅱ）求異面直線AB與MD所成角的大小；

（Ⅲ）求點(diǎn)B到平面OCD的距離。

Answer 1

（Ⅰ）證明：見解析。

（Ⅱ）

（Ⅲ）

解析:

方法一（綜合法）

  （1）取OB中點(diǎn)E，連接ME，NE

又

           

  （2）

       為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角）

                  作連接

                 

                 

                ，

                所以 與所成角的大小為

         （3）點(diǎn)A和點(diǎn)B到平面OCD的距離相等，連接OP,過點(diǎn)A作

 于點(diǎn)Q，

              又 ,線段AQ的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面OCD的距離

                ，

                ，所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為

方法二(向量法)

作于點(diǎn)P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標(biāo)系

,

(1)

設(shè)平面OCD的法向量為,則

即

取,解得

(2)設(shè)與所成的角為,

   , 與所成角的大小為

(3)設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的距離為,則為在向量上的投影的絕對(duì)值,

       由 , 得.所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為