Question

【題目】已知兩點、，點是直角坐標平面上的動點，若將點的橫坐標保持不變、縱坐標擴大到倍后得到點，且滿足．

（1）求動點所在曲線的方程；

（2）過點作斜率為的直線交曲線于、兩點，且滿足，又點關于原點的對稱點為點，求點、的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2），．

【解析】

（1）求出向量、的坐標，結合條件可得出動點的軌跡方程；

（2）得出直線的方程為，設點、，將直線的方程與橢圓方程聯立，列出韋達定理，利用向量的坐標運算得出的坐標，再由點關于原點的對稱點為點，可求出點的坐標.

（1），，

，即，化簡得，即，

因此，曲線的方程為；

（2）設點、，直線的方程為，

將直線的方程與橢圓的方程聯立，得．

由韋達定理得，，

，，

所以，點的坐標為，

又點關于原點的對稱點為點，則點的坐標為.